** Aire d'une cible

Dans un repère orthonormal d'origine  \(\text{O}\) , on considère les cercles de centre  \(\text{O}\)   et de rayon \(n\) .

Sur la représentation suivante, on s'est arrêté à \(n=5\) .

On définit la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  par :

• \(u_0\) = aire du disque de rayon  \(1\) .
• Pour tout  \(n\geqslant 1\) ,  \(u_n\) = aire de la couronne délimitée par les cercles de rayon \(n\)  et  \(n+1\) .

1. a. Calculer les trois premiers termes de cette suite.
    b. Exprimer \(u_n\)  en fonction de \(n\)  ; en déduire la nature de la suite  \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) .

2. Démontrer que, pour tout \(n\) dans \(\mathbb N\) ,  \(S_n=u_0+u_1+...+u_{n}= \pi (n+1)^2\) . Interpréter ce résultat en termes d'aires.